马同学

从傅立叶级数到傅立叶变换

之前写过两篇关于傅立叶变换的文章：

如何直观地理解傅立叶变换？
如何理解傅立叶级数公式？（后面此文简称“代数细节”）

傅立叶级数是针对周期函数的，为了可以处理非周期函数，需要傅立叶变换。如果对傅立叶级数有疑问，请参看“代数细节”一文。

先看下思路：

(a).周期函数，可以通过傅立叶级数画出频域图
(b).增长周期，频域图变得越来越密集
(c). $T=\infty$ ，得到傅立叶变换，频域图变为连续的曲线

下面是细节的讲解。

1 傅立叶级数

让·巴普蒂斯·约瑟夫·傅里叶男爵（1768 －1830）猜测任意周期函数都可以写成三角函数之和。比如下面这个周期为 $2\pi$ 的方波，可以用大量的正弦波的叠加来逼近：

1.1 傅立叶级数是向量

从代数上看，傅立叶级数就是通过三角函数和常数项来叠加逼近周期为 $T$ 的函数 $f(x)$ ：

$\displaystyle f(x)=a_0+\sum _{{n=1}}^{\infty}\left(a_{n}cos({\frac{2\pi n}{T}x})+b_{n}sin({\frac{2\pi n}{T}x})\right),a_0\in\mathbb{R}$

在“代数细节”一文中解释了，实际上是把 $f(x)$ 当作了如下基的向量：

$\{1,cos({\frac{2\pi n}{T}x}),sin({\frac{2\pi n}{T}x})\}$

那么上面的式子就可以解读为：

$\displaystyle f(x)=\underbrace{a_0}_{基1下的坐标}\cdot 1+\sum _{{n=1}}^{\infty }\left(\underbrace{a_{n}}_{对应基的坐标}cos({\frac{2\pi n}{T}x})+\underbrace{b_{n}}_{对应基的坐标}sin({\frac{2\pi n}{T}x})\right)$

说具体点，比如刚才提到的， $T=2\pi$ 的方波 $f(x)$ ，可以初略的写作：

$f(x)\approx 1+\frac{4}{\pi}sin(x)$

从几何上看，有那么一丁点相似：

我们可以认为：

$f(x)\approx 1+\frac{4}{\pi}sin(x)$

此函数的基为：

$\{1,sin(x)\}$

则 $f(x)$ 相当于向量：

$\displaystyle (1,\frac{4}{\pi})$

画到图上如下，注意坐标轴不是 $x,y$ ，而是 $1,sin(x)$ ：

1.2 频域图

再增加几个三角函数：

$f(x)\approx 1+\frac{4}{\pi}sin(x)+0sin(2x)+\frac{4}{3\pi}sin(3x)+0sin(4x)+\frac{4}{5\pi}sin(5x)$

从几何上看，肯定更接近了：

此时基为：

$\{1,sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x)\}$

对应的向量为：

$\displaystyle (1,\frac{4}{\pi},0,\frac{4}{3\pi},0,\frac{4}{5\pi})$

六维的向量没有办法画图啊，没关系，数学家发明了一个频域图来表示这个向量：

上图中的 $0,1,2,3,4,5$ 分别代表了不同频率的正弦波函数，也就是之前的基：

$0Hz\iff sin(0x)\quad 3Hz\iff sin(3x)\cdots$

而高度则代表在这个频率上的振幅，也就是这个基上的坐标分量。

这里举的例子只有正弦函数，余弦函数其实也需要这样一个频谱图，也就是需要两个频谱图。当然还有别的办法，综合正弦和余弦，这个后面再说。

原来的曲线图就称为时域图（这点请参考“代数细节”），往往把时域图和频域图画在一起，这样能较为完整的反映傅立叶级数：

不管时域、频域其实反映的都是同一个曲线，只是一个是用函数的观点，一个是用向量的观点。

当习惯了频域之后，会发现看到频域图，似乎就看到了傅立叶级数的展开：

2 非周期函数

非周期函数，比如下面这个函数可以写出傅立叶级数吗？

这并非一个周期函数，没有办法写出傅立叶级数。

不过可以变换一下思维，如果刚才的方波的周期：

$T=2\pi\to T=\infty$

那么就得到了这个函数：

在这样的思路下，就可以使用三角级数来逼近这个函数：

观察下频域，之前说了，对于周期为 $T$ 的函数 $f(x)$ ，其基为（对此点有疑问的，可以看“代数细节”一文）：

$\{1,cos({\frac{2\pi n}{T}x}),sin({\frac{2\pi n}{T}x})\}$

刚才举的方波 $T=2\pi$ ，对应的基就为（没有余弦波）：

$\{1,sin(x),sin(2x),sin(3x),sin(4x),sin(5x),\cdots\,sin(nx)\}$

对应的频率就是：

$\{0Hz,1Hz,2Hz,3Hz,4Hz,5Hz,\cdots\,nHz\}$

按照刚才的思路，如果 $T$ 不断变大，比如让 $T=4\pi$ ，对应的基就为（没有余弦波）：

$\{1,sin(0.5x),sin(x),sin(1.5x),sin(2x),sin(2.5x),\cdots\,sin(0.5nx)\}$

对应的频率就是：

$\{0Hz,0.5Hz,1Hz,1.5Hz,2Hz,2.5Hz,\cdots\,0.5nHz\}$

和刚才相比，频率更加密集：

之前的方波的频域图，画了前50个频率，可以看到，随着 $T$ 不断变大，这50个频率越来越集中：

可以想象，如果真的：

$T=2\pi\to T=\infty$

这些频率就会变得稠密，直至连续，变为一条频域曲线：

傅立叶变换就是，让 $T=\infty$ ，求出上面这根频域曲线。

3 傅立叶变换

之前说了，傅立叶级数是：

$\displaystyle f(x)=a_0+\sum _{{n=1}}^{\infty}\left(a_{n}cos({\frac{2\pi n}{T}x})+b_{n}sin({\frac{2\pi n}{T}x})\right),a_0\in\mathbb{R}$

这里有正弦波，也有余弦波，画频域图也不方便，通过欧拉公式，可以修改为复数形式（请参考“代数细节”一文）：

$\displaystyle f(x)=\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}$

其中：

$\displaystyle c_{n}={\frac{1}{T}}\int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot e^{{-i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}\ dx$

复数形式也是向量，可以如下解读：

$\displaystyle f(x)=\sum _{{n=-\infty}}^{\infty}\underbrace{c_{n}}_{对应基的坐标}\cdot \underbrace{e^{{i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}}_{正交基}$

不过 $c_{n}$ 是复数，不好画频域图，所以之前讲解全部采取的是三角级数。

周期推向无穷的时候可以得到：

$\left. \begin{align*} \displaystyle f(x)=\sum _{{n=-\infty }}^{\infty }c_{n}\cdot e^{{i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}\\ T=\infty \end{align*} \right\}\implies f(x) = \int_{-\infty}^\infty F(\omega)\ e^{i\omega x}\,d\omega$

上面简化了一下，用 $\omega$ 代表频率。

$F(\omega)$ 大致是这么得到的：

$\left. \begin{align*} c_{n}={\frac{1}{T}}\int _{{x_{0}}}^{{x_{0}+T}}f(x)\cdot e^{{-i{\tfrac {2\pi nx}{T}}}}\ dx\\ T=\infty \end{align*} \right\}\implies F(\omega)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty f(x)\ e^{-i\omega x}\,dx$