MATHEMATICS -- 黎曼猜想
数学界的三大高峰：欧拉、高斯和黎曼。其中，欧拉的数学技巧无与伦比；高斯的数学才能绝无仅有；而黎曼的数学灵感，足够让其他数学家忙碌几百年。 简单的列一下：
$\zeta$ 函数 \(\zeta(s)=1+\frac{1}{2^s}+\frac{1}{3^s}+\frac{1}{4^s}+\cdots\\\)
当定义域在实数的时候，欧拉证明：
- 当 $s=1$ 时，就变成了著名的调和级数，是不收敛的。
- 当 $s<1$ 时，加的项会逐渐变大，最后的结果会趋于正无穷，也是不收敛的。
- 当 $s>1$ 时，加的项越来越小，可以想象它最后会趋于一个实数，我们称这种趋于一个数的情况为收敛的。
黎曼把这个函数进行了 解析延拓 ，定义域扩展到了复平面。 \(\zeta(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^{s}}(\operatorname{Re}(s)>1)\) 只要 $s$ 的实部大于 1，就是收敛的。
令这个函数等于 0，求解： Obviously，当 $s$ 为负偶数时，$ζ(s)$ 为 0，这些零点被称为平凡零点， $ζ(s)$ 的其他零点被成为非平凡零点。
黎曼猜想（Riemann Hypothesis）：黎曼 $\zeta$ 函数的非平凡零点实部均为 1/2。
https://www.zhihu.com/question/295496241/answer/1894897469
数学中的皇冠 —— 数论 —— 2000 年来一直没有任何实际应用，是最纯粹的数学。直到计算机，尤其是现代密码学的出现，才让数论第一次走出数学，走进了人们的生活中。
如果真的有神的话，那么数学就是神的语言。 心事浩茫连广宇，于无声处听惊雷。
大概讲的是，一个牛逼的函数，对于任意输入数字 $x$，可以直接算出小于 $x$ 的所有质数个数。
黎曼素数计数函数：
\[J(x)=Li(x)-\sum_{\rho}Li(x^{\rho})-\ln 2 +\int_x^\infty\frac{dt}{t(t^2-1)\ln t}\]当代入的非平凡零点越多，越准确。
而黎曼猜想说的是，这些非平凡零点的所有实部都是 1/2。
严伯钧说：能完全理解黎曼猜想，至少是一个数学专业的博士生水平。一切的起点：欧拉乘积公式，对于全体质数的某种运算，可以转移成对于全体自然数的某种运算。
复数到复数的函数，四维空间才可以表示出来。 magnitude（幅度）表示大小，phase（相位）用颜色表示。
马同学
黎曼猜想（Riemann hypothesis）是什么？有什么用？ 
李永乐老师
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欧拉级数 解析延拓
解析延拓
- 需要处处可导
- 给数学系用的复变函数教程上都会讲到，只要在一个有聚点的点集上给定了函数值，那么无论怎样做解析延拓，都只能有唯一的结果。
- 任何两个全纯函数，如果在一个区域内相等，则它们在任何一点处都相等。因此，解析延拓是唯一的。
科技袁人
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黎曼猜想合集-总有一天，人类会骄傲地发出这串数字：2,3,5,7,11……
质数的分布函数
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黎曼猜想合集-总有一天，人类会骄傲地发出这串数字：2,3,5,7,11……
论小于给定数值的质数个数
质数定理
袁岚峰
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实际应用
和密码学关系重大。
参考资料快照
- https://www.zhihu.com/question/295496241/answer/1894897469
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/25055731
- https://zhuanlan.zhihu.com/p/25222934
- https://www.matongxue.com/madocs/2101
- https://www.zhihu.com/question/295619713
- https://www.bilibili.com/video/BV1MW411S7Tg
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- https://blog.csdn.net/fztsilly/article/details/106525876
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- https://blog.csdn.net/fztsilly/article/details/106548223
- https://blog.csdn.net/qq_40155097/article/details/86670230
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