机器学习笔记 -- 环境搭建 & 数学基础

Posted on August 29, 2020 (珠海)
机器学习

《动手学深度学习》^[1]

环境搭建

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数学基础

有关线性代数、微分和概率的基础知识。

线性代数

向量、矩阵、运算、范数、特征向量和特征值的概念。

向量

向量一般指列向量。一个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}$ 的表达式可写成

\[\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix},\]

其中 $x_1, \ldots, x_n$ 是向量的元素。我们将各元素均为实数的 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}$ 记作 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 或 $\boldsymbol{x} \in \mathbb{R}^{n \times 1}$。

矩阵

一个 $m$ 行 $n$ 列矩阵的表达式可写成

\[\boldsymbol{X} = \begin{bmatrix} x_{11} & x_{12} & \dots & x_{1n} \\ x_{21} & x_{22} & \dots & x_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_{m1} & x_{m2} & \dots & x_{mn} \end{bmatrix},\]

其中 $x_{ij}$ 是矩阵 $\boldsymbol{X}$ 中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素（$1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$）。我们将各元素均为实数的 $m$ 行 $n$ 列矩阵 $\boldsymbol{X}$ 记作 $\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{m \times n}$。不难发现，向量是特殊的矩阵。

运算

设 $n$ 维向量 $\boldsymbol{a}$ 中的元素为 $a_1, \ldots, a_n$，$n$ 维向量 $\boldsymbol{b}$ 中的元素为 $b_1, \ldots, b_n$。向量 $\boldsymbol{a}$ 与 $\boldsymbol{b}$ 的点乘（内积）是一个标量：

\[\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{b} = a_1 b_1 + \ldots + a_n b_n.\]

设两个 $m$ 行 $n$ 列矩阵

\[\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix},\quad \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{m1} & b_{m2} & \dots & b_{mn} \end{bmatrix}.\]

矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的转置是一个 $n$ 行 $m$ 列矩阵，它的每一行其实是原矩阵的每一列：

\[\boldsymbol{A}^\top = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{21} & \dots & a_{m1} \\ a_{12} & a_{22} & \dots & a_{m2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{1n} & a_{2n} & \dots & a_{mn} \end{bmatrix}.\]

两个相同形状的矩阵的加法是将两个矩阵按元素做加法：

\[\boldsymbol{A} + \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \dots & a_{1n} + b_{1n} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \dots & a_{2n} + b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \dots & a_{mn} + b_{mn} \end{bmatrix}.\]

我们使用符号 $\odot$ 表示两个矩阵按元素乘法的运算，即阿达玛（Hadamard）积：

\[\boldsymbol{A} \odot \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} b_{11} & a_{12} b_{12} & \dots & a_{1n} b_{1n} \\ a_{21} b_{21} & a_{22} b_{22} & \dots & a_{2n} b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{m1} & a_{m2} b_{m2} & \dots & a_{mn} b_{mn} \end{bmatrix}.\]

定义一个标量 $k$。标量与矩阵的乘法也是按元素做乘法的运算：

\[k\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} ka_{11} & ka_{12} & \dots & ka_{1n} \\ ka_{21} & ka_{22} & \dots & ka_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ ka_{m1} & ka_{m2} & \dots & ka_{mn} \end{bmatrix}.\]

其他诸如标量与矩阵按元素相加、相除等运算与上式中的相乘运算类似。矩阵按元素开根号、取对数等运算也就是对矩阵每个元素开根号、取对数等，并得到和原矩阵形状相同的矩阵。

矩阵乘法和按元素的乘法不同。设 $\boldsymbol{A}$ 为 $m$ 行 $p$ 列的矩阵，$\boldsymbol{B}$ 为 $p$ 行 $n$ 列的矩阵。两个矩阵相乘的结果

\[\boldsymbol{A} \boldsymbol{B} = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1p} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2p} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{i1} & a_{i2} & \dots & a_{ip} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mp} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} b_{11} & b_{12} & \dots & b_{1j} & \dots & b_{1n} \\ b_{21} & b_{22} & \dots & b_{2j} & \dots & b_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\ b_{p1} & b_{p2} & \dots & b_{pj} & \dots & b_{pn} \end{bmatrix}\]

是一个 $m$ 行 $n$ 列的矩阵，其中第 $i$ 行第 $j$ 列（$1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n$）的元素为

\[a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \ldots + a_{ip}b_{pj} = \sum_{k=1}^p a_{ik}b_{kj}.\]

范数

设 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x}$ 中的元素为 $x_1, \ldots, x_n$。向量 $\boldsymbol{x}$ 的 $L_p$ 范数为

\[\|\boldsymbol{x}\|_p = \left(\sum_{i=1}^n \left|x_i \right|^p \right)^{1/p}.\]

例如，$\boldsymbol{x}$ 的 $L_1$ 范数是该向量元素绝对值之和：

\[\|\boldsymbol{x}\|_1 = \sum_{i=1}^n \left|x_i \right|.\]

而 $\boldsymbol{x}$ 的 $L_2$ 范数是该向量元素平方和的平方根：

\[\|\boldsymbol{x}\|_2 = \sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2}.\]

我们通常用 $\lVert\boldsymbol{x}\rVert$ 指代 $\lVert\boldsymbol{x}\rVert_2$。

设 $\boldsymbol{X}$ 是一个 $m$ 行 $n$ 列矩阵。矩阵 $\boldsymbol{X}$ 的 Frobenius 范数为该矩阵元素平方和的平方根：

\[\|\boldsymbol{X}\|_F = \sqrt{\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n x_{ij}^2},\]

其中 $x_{ij}$ 为矩阵 $\boldsymbol{X}$ 在第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。

特征向量和特征值

对于一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵 $\boldsymbol{A}$，假设有标量 $\lambda$ 和非零的 $n$ 维向量 $\boldsymbol{v}$ 使

\[\boldsymbol{A} \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v},\]

那么 $\boldsymbol{v}$ 是矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的一个特征向量，标量 $\lambda$ 是 $\boldsymbol{v}$ 对应的特征值。

微分

我们在这里简要介绍微分的一些基本概念和演算。

导数和微分

假设函数 $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ 的输入和输出都是标量。函数 $f$ 的导数

\[f'(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h},\]

且假定该极限存在。给定 $y = f(x)$，其中 $x$ 和 $y$ 分别是函数 $f$ 的自变量和因变量。以下有关导数和微分的表达式等价：

\[f'(x) = y' = \frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{\text{d}f}{\text{d}x} = \frac{\text{d}}{\text{d}x} f(x) = \text{D}f(x) = \text{D}_x f(x),\]

其中符号 $\text{D}$ 和 $\text{d}/\text{d}x$ 也叫微分运算符。常见的微分演算有 $\text{D}C = 0$（$C$ 为常数）、$\text{D}x^n = nx^{n-1}$（$n$ 为常数）、$\text{D}e^x = e^x$、$\text{D}\ln(x) = 1/x$ 等。

如果函数 $f$ 和 $g$ 都可导，设 $C$ 为常数，那么

\[\begin{aligned} \frac{\text{d}}{\text{d}x} [Cf(x)] &= C \frac{\text{d}}{\text{d}x} f(x),\\ \frac{\text{d}}{\text{d}x} [f(x) + g(x)] &= \frac{\text{d}}{\text{d}x} f(x) + \frac{\text{d}}{\text{d}x} g(x),\\ \frac{\text{d}}{\text{d}x} [f(x)g(x)] &= f(x) \frac{\text{d}}{\text{d}x} [g(x)] + g(x) \frac{\text{d}}{\text{d}x} [f(x)],\\ \frac{\text{d}}{\text{d}x} \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] &= \frac{g(x) \frac{\text{d}}{\text{d}x} [f(x)] - f(x) \frac{\text{d}}{\text{d}x} [g(x)]}{[g(x)]^2}. \end{aligned}\]

如果 $y=f(u)$ 和 $u=g(x)$ 都是可导函数，依据链式法则，

\[\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{\text{d}y}{\text{d}u} \frac{\text{d}u}{\text{d}x}.\]

泰勒展开

函数 $f$ 的泰勒展开式是

\[f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^n,\]

其中 $f^{(n)}$ 为函数 $f$ 的 $n$ 阶导数（求 $n$ 次导数），$n!$ 为 $n$ 的阶乘。假设 $\epsilon$ 是一个足够小的数，如果将上式中 $x$ 和 $a$ 分别替换成 $x+\epsilon$ 和 $x$，可以得到

\[f(x + \epsilon) \approx f(x) + f'(x) \epsilon + \mathcal{O}(\epsilon^2).\]

由于 $\epsilon$ 足够小，上式也可以简化成

\[f(x + \epsilon) \approx f(x) + f'(x) \epsilon.\]

偏导数

设 $u$ 为一个有 $n$ 个自变量的函数，$u = f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$，它有关第 $i$ 个变量 $x_i$ 的偏导数为

\[\frac{\partial u}{\partial x_i} = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x_1, \ldots, x_{i-1}, x_i+h, x_{i+1}, \ldots, x_n) - f(x_1, \ldots, x_i, \ldots, x_n)}{h}.\]

以下有关偏导数的表达式等价：

\[\frac{\partial u}{\partial x_i} = \frac{\partial f}{\partial x_i} = f_{x_i} = f_i = \text{D}_i f = \text{D}_{x_i} f.\]

为了计算 $\partial u/\partial x_i$，只需将 $x_1, \ldots, x_{i-1}, x_{i+1}, \ldots, x_n$ 视为常数并求 $u$ 有关 $x_i$ 的导数。

梯度

假设函数 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 的输入是一个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^\top$，输出是标量。函数 $f(\boldsymbol{x})$ 有关 $\boldsymbol{x}$ 的梯度是一个由 $n$ 个偏导数组成的向量：

\[\nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x}) = \bigg[\frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_1}, \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_2}, \ldots, \frac{\partial f(\boldsymbol{x})}{\partial x_n}\bigg]^\top.\]

为表示简洁，我们有时用 $\nabla f(\boldsymbol{x})$ 代替 $\nabla_{\boldsymbol{x}} f(\boldsymbol{x})$。

假设 $\boldsymbol{x}$ 是一个向量，常见的梯度演算包括

\[\begin{aligned} \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{A}^\top \boldsymbol{x} &= \boldsymbol{A}, \\ \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{A} &= \boldsymbol{A}, \\ \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{A} \boldsymbol{x} &= (\boldsymbol{A} + \boldsymbol{A}^\top)\boldsymbol{x},\\ \nabla_{\boldsymbol{x}} \|\boldsymbol{x} \|^2 &= \nabla_{\boldsymbol{x}} \boldsymbol{x}^\top \boldsymbol{x} = 2\boldsymbol{x}. \end{aligned}\]

类似地，假设 $\boldsymbol{X}$ 是一个矩阵，那么 $\nabla_{\boldsymbol{X}} \|\boldsymbol{X} \|_F^2 = 2\boldsymbol{X}.$

海森矩阵

假设函数 $f: \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ 的输入是一个 $n$ 维向量 $\boldsymbol{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^\top$，输出是标量。假定函数 $f$ 所有的二阶偏导数都存在，$f$ 的海森矩阵 $\boldsymbol{H}$ 是一个 $n$ 行 $n$ 列的矩阵：

\[\boldsymbol{H} = \begin{bmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x_1^2} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_1 \partial x_n} \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2^2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_2 \partial x_n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_1} & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n \partial x_2} & \dots & \frac{\partial^2 f}{\partial x_n^2} \end{bmatrix},\]

其中二阶偏导数为

\[\frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial }{\partial x_j} \left(\frac{\partial f}{ \partial x_i}\right).\]

概率

最后，我们简要介绍条件概率、期望和均匀分布。

条件概率

假设事件 $A$ 和事件 $B$ 的概率分别为 $P(A)$ 和 $P(B)$，两个事件同时发生的概率记作 $P(A \cap B)$ 或 $P(A, B)$。给定事件 $B$，事件 $A$ 的条件概率

\[P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}.\]

也就是说，

\[P(A \cap B) = P(B) P(A \mid B) = P(A) P(B \mid A).\]

当满足

\[P(A \cap B) = P(A) P(B)\]

时，事件 $A$ 和事件 $B$ 相互独立。

期望

离散的随机变量 $X$ 的期望（或平均值）为

\[E(X) = \sum_{x} x P(X = x).\]

均匀分布

假设随机变量 $X$ 服从 $[a, b]$ 上的均匀分布，即 $X \sim U(a, b)$。随机变量 $X$ 取 $a$ 和 $b$ 之间任意一个数的概率相等。

NDArray

高等数学

http://zh.gluon.ai/chapter_appendix/math.html

导数定义：

导数和微分的概念

$f'({ {x}_{0} })=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({ {x}_{0}}+\Delta x)-f({ {x}_{0}})}{\Delta x}$ （1）

或者：

$f'({ {x}_{0} })=\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({ {x}_{0}})}{x-{ {x}_{0}}}$ （2）

左右导数导数的几何意义和物理意义

函数$f(x)$在$x_0$处的左、右导数分别定义为：

左导数：${ { {f}'}_{-}}({ {x}_{0}})=\underset{\Delta x\to { {0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({ {x}_{0}}+\Delta x)-f({ {x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({ {x}_{0}})}{x-{ {x}_{0}}},(x={ {x}_{0}}+\Delta x)$

右导数：${ { {f}'}_{+}}({ {x}_{0}})=\underset{\Delta x\to { {0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({ {x}_{0}}+\Delta x)-f({ {x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({ {x}_{0}})}{x-{ {x}_{0}}}$

函数的可导性与连续性之间的关系

Th1: 函数$f(x)$在$x_0$处可微$\Leftrightarrow f(x)$在$x_0$处可导

Th2: 若函数在点$x_0$处可导，则$y=f(x)$在点$x_0$处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。

Th3: ${f}'({ {x}_{0}})$存在$\Leftrightarrow { { {f}'}_{-}}({ {x}_{0}})={ { {f}'}_{+}}({ {x}_{0}})$

平面曲线的切线和法线

切线方程 : $y-{ {y}_{0}}=f'({ {x}_{0}})(x-{ {x}_{0}})$

法线方程：$y-{ {y}_{0}}=-\frac{1}{f'({ {x}_{0}})}(x-{ {x}_{0}}),f'({ {x}_{0}})\ne 0$

四则运算法则

设函数$u=u(x)，v=v(x)$] 在点$x$可导则

(1) $(u\pm v{)}'={u}'\pm {v}'$ $d(u\pm v)=du\pm dv$

(2) $(uv{)}'=u{v}'+v{u}'$ $d(uv)=udv+vdu$

(3) $(\frac{u}{v}{)}'=\frac{v{u}'-u{v}'}{ { {v}^{2}}}(v\ne 0)$ $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{ { {v}^{2}}}$

基本导数与微分表

(1) $y=c$（常数） ${y}'=0$ $dy=0$

(2) $y={ {x}^{\alpha }}$($\alpha$为实数 ) ${y}'=\alpha { {x}^{\alpha -1}}$ $dy=\alpha { {x}^{\alpha -1}}dx$

(3) $y={ {a}^{x}}$ ${y}'={ {a}^{x}}\ln a$ $dy={ {a}^{x}}\ln adx$ 特例：$({ { {e}}^{x}}{)}'={ { {e}}^{x}}$ $d({ { {e}}^{x}})={ { {e}}^{x}}dx$

(4) $y={ {\log }_{a}}x$ ${y}'=\frac{1}{x\ln a}$

$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$ 特例：$y=\ln x$ $(\ln x{)}'=\frac{1}{x}$ $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$

(5) $y=\sin x$

${y}'=\cos x$ $d(\sin x)=\cos xdx$

(6) $y=\cos x$

${y}'=-\sin x$ $d(\cos x)=-\sin xdx$

(7) $y=\tan x$

${y}'=\frac{1}{ { {\cos }^{2}}x}={ {\sec }^{2}}x$ $d(\tan x)={ {\sec }^{2}}xdx$

(8) $y=\cot x$ ${y}'=-\frac{1}{ { {\sin }^{2}}x}=-{ {\csc }^{2}}x$ $d(\cot x)=-{ {\csc }^{2}}xdx$

(9) $y=\sec x$ ${y}'=\sec x\tan x$

$d(\sec x)=\sec x\tan xdx$ (10) $y=\csc x$ ${y}'=-\csc x\cot x$

$d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$ (11) $y=\arcsin x$

\[{y}'=\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2}}}}\]

$d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2}}}}dx$ (12) $y=\arccos x$

${y}'=-\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2}}}}$ $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2}}}}dx$

(13) $y=\arctan x$

${y}'=\frac{1}{1+{ {x}^{2}}}$ $d(\arctan x)=\frac{1}{1+{ {x}^{2}}}dx$

(14) $y=\operatorname{arc}\cot x$

\[{y}'=-\frac{1}{1+{ {x}^{2}}}\]

$d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{ {x}^{2}}}dx$ (15) $y=shx$

${y}'=chx$ $d(shx)=chxdx$

(16) $y=chx$

${y}'=shx$ $d(chx)=shxdx$

复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法

(1) 反函数的运算法则：设$y=f(x)$在点$x$的某邻域内单调连续，在点$x$处可导且${f}'(x)\ne 0$，则其反函数在点$x$所对应的$y$处可导，并且有$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$

(2) 复合函数的运算法则：若$\mu =\varphi (x)$在点$x$可导，而$y=f(\mu )$在对应点$\mu$($\mu =\varphi (x)$) 可导，则复合函数$y=f(\varphi (x))$在点$x$可导，且${y}'={f}'(\mu )\cdot {\varphi }'(x)$

(3) 隐函数导数$\frac{dy}{dx}$的求法一般有三种方法：

1) 方程两边对$x$求导，要记住$y$是$x$的函数，则$y$的函数是$x$的复合函数 . 例如$\frac{1}{y}$，${ {y}^{2}}$，$ln y$，${ { {e}}^{y}}$等均是$x$的复合函数 . 对$x$求导应按复合函数连锁法则做 .

2) 公式法 . 由$F(x,y)=0$知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{ { { { {f}'}}_{x}}(x,y)}{ { { { {f}'}}_{y}}(x,y)}$, 其中，${ { {f}'}_{x}}(x,y)$， ${ { {f}'}_{y}}(x,y)$分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数

3) 利用微分形式不变性

常用高阶导数公式

（1）$({ {a}^{x}}){ {\,}^{(n)}}={ {a}^{x}}{ {\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({ { {e}}^{x}}){ {\,}^{(n)}}={e}{ {\,}^{x}}$

（2）$(\sin kx{)}{ {\,}^{(n)}}={ {k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{ {2}})$

（3）$(\cos kx{)}{ {\,}^{(n)}}={ {k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{ {2}})$

（4）$({ {x}^{m}}){ {\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){ {x}^{m-n}}$

（5）$(\ln x){ {\,}^{(n)}}={ {(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{ { {x}^{n}}}$

（6）莱布尼兹公式：若$u(x)\,,v(x)$均$n$阶可导，则 ${ {(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{ {u}^{(i)}}{ {v}^{(n-i)}}}$，其中${ {u}^{({0})}}=u$，${ {v}^{({0})}}=v$

微分中值定理，泰勒公式

Th1:（费马定理）

若函数$f(x)$满足条件：

(1) 函数$f(x)$在${ {x}_{0}}$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有 $f(x)\le f({ {x}_{0}})$ 或 $f(x)\ge f({ {x}_{0}})$,

(2) $f(x)$在${ {x}_{0}}$处可导，则有 ${f}'({ {x}_{0}})=0$

Th2:（罗尔定理）

设函数$f(x)$满足条件：

(1) 在闭区间$[a,b]$上连续；

(2) 在$(a,b)$内可导；

(3)$f(a)=f(b)$；

则在$(a,b)$内一存在个$\xi$，使 ${f}'(\xi )=0$

Th3:（拉格朗日中值定理）

设函数$f(x)$满足条件：

(1) 在$[a,b]$上连续；

(2) 在$(a,b)$内可导；

则在$(a,b)$内一存在个$\xi$，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}'(\xi )$

Th4:（柯西中值定理）

设函数$f(x)$，$g(x)$满足条件： (1) 在$[a,b]$上连续；

(2) 在$(a,b)$内可导且${f}'(x)$，${g}'(x)$均存在，且${g}'(x)\ne 0$

则在$(a,b)$内存在一个$\xi$，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{ {f}'(\xi )}{ {g}'(\xi )}$

洛必达法则

法则 Ⅰ（$\frac{0}{0}$型）

设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$

满足条件：

$\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$;

$f\left( x \right),g\left( x \right)$在${ {x}_{0}}$的邻域内可导，（在${ {x}_{0}}$处可除外）且${g}'\left( x \right)\ne 0$;

$\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}'\left( x \right)}{ {g}'\left( x \right)}$ 存在（或$\infty$）。

则 : $\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}'\left( x \right)}{ {g}'\left( x \right)}$。法则${ {I}'}$（$\frac{0}{0}$型）

设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$

满足条件：

$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left(x \right)=0,\underset{x \to \infty}{\mathop{\lim}}\,g\left(x \right)=0$;

存在一个$X>0$，当$\left\| x \right\|>X$时,

$f\left( x \right),g\left( x \right)$可导，且${g}'\left( x \right)\ne 0$;$\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim}}\,\frac{ {f}'\left(x \right)}{ {g}'\left(x \right)}$存在（或$\infty$）。

则 : $\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}'\left( x \right)}{ {g}'\left( x \right)}$

法则 Ⅱ（$\frac{\infty }{\infty }$型）

设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件： $\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty$;

$f\left( x \right),g\left( x \right)$在${ {x}_{0}}$ 的邻域内可导（在${ {x}_{0}}$处可除外）且${g}'\left( x \right)\ne 0$;$\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}'\left( x \right)}{ {g}'\left( x \right)}$存在（或$\infty$）。

则

\[\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}'\left( x \right)}{ {g}'\left( x \right)}.\]

同理法则${I{I}'}$（$\frac{\infty }{\infty }$型）仿法则${ {I}'}$可写出。

泰勒公式

设函数$f(x)$在点${ {x}_{0}}$处的某邻域内具有$n+1$阶导数，则对该邻域内异于${ {x}_{0}}$的任意点$x$，在${ {x}_{0}}$与$x$之间至少存在一个$\xi$，使得：

\[f(x)=f({ {x}_{0}})+{f}'({ {x}_{0}})(x-{ {x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}''({ {x}_{0}}){ {(x-{ {x}_{0}})}^{2}}+\cdots\] \[+\frac{ { {f}^{(n)}}({ {x}_{0}})}{n!}{ {(x-{ {x}_{0}})}^{n}}+{ {R}_{n}}(x)\]

其中 ${ {R}_{n}}(x)=\frac{ { {f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{ {(x-{ {x}_{0}})}^{n+1}}$称为$f(x)$在点${ {x}_{0}}$处的$n$阶泰勒余项。

令${ {x}_{0}}=0$，则$n$阶泰勒公式 $f(x)=f(0)+{f}'(0)x+\frac{1}{2!}{f}''(0){ {x}^{2}}+\cdots +\frac{ { {f}^{(n)}}(0)}{n!}{ {x}^{n}}+{ {R}_{n}}(x)$……(1)

其中 ${ {R}_{n}}(x)=\frac{ { {f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{ {x}^{n+1}}$，$\xi$在 0 与$x$之间 .(1) 式称为 麦克劳林公式

常用五种函数在${ {x}_{0}}=0$处的泰勒公式

(1) ${ { {e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{ {x}^{n}}+\frac{ { {x}^{n+1}}}{(n+1)!}{ {e}^{\xi }}$

或 $=1+x+\frac{1}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{ {x}^{n}}+o({ {x}^{n}})$

(2) $\sin x=x-\frac{1}{3!}{ {x}^{3}}+\cdots +\frac{ { {x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{ { {x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=x-\frac{1}{3!}{ {x}^{3}}+\cdots +\frac{ { {x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({ {x}^{n}})$

(3) $\cos x=1-\frac{1}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{ { {x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{ { {x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$

或 $=1-\frac{1}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{ { {x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({ {x}^{n}})$

(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{ {x}^{2}}+\frac{1}{3}{ {x}^{3}}-\cdots +{ {(-1)}^{n-1}}\frac{ { {x}^{n}}}{n}+\frac{ { {(-1)}^{n}}{ {x}^{n+1}}}{(n+1){ {(1+\xi )}^{n+1}}}$

或 $=x-\frac{1}{2}{ {x}^{2}}+\frac{1}{3}{ {x}^{3}}-\cdots +{ {(-1)}^{n-1}}\frac{ { {x}^{n}}}{n}+o({ {x}^{n}})$

(5) ${ {(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{ {x}^{n}}$ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{ {x}^{n+1}}{ {(1+\xi )}^{m-n-1}}$

或 ${ {(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots$ $+\frac{m(m-1)\cdots(m-n+1)}{n!}{ {x}^{n}}+o({ {x}^{n}})$

函数单调性的判断

Th1:

设函数$f(x)$在$(a,b)$区间内可导，如果对$\forall x\in (a,b)$，都有$f\,'(x)>0$（或$f\,'(x)<0$），则函数$f(x)$在$(a,b)$内是单调增加的（或单调减少）

Th2:

（取极值的必要条件）设函数$f(x)$在${ {x}_{0}}$处可导，且在${ {x}_{0}}$处取极值，则$f\,'({ {x}_{0}})=0$。

Th3:

（取极值的第一充分条件）设函数$f(x)$在${ {x}_{0}}$的某一邻域内可微，且$f\,'({ {x}_{0}})=0$（或$f(x)$在${ {x}_{0}}$处连续，但$f\,'({ {x}_{0}})$不存在。）

(1) 若当$x$经过${ {x}_{0}}$时，$f\,'(x)$由“+”变“-”，则$f({ {x}_{0}})$为极大值；

(2) 若当$x$经过${ {x}_{0}}$时，$f\,'(x)$由“-”变“+”，则$f({ {x}_{0}})$为极小值；

(3) 若$f\,'(x)$经过$x={ {x}_{0}}$的两侧不变号，则$f({ {x}_{0}})$不是极值。

Th4:

（取极值的第二充分条件）设$f(x)$在点${ {x}_{0}}$处有$f''(x)\ne 0$，且$f\,'({ {x}_{0}})=0$，则当$f'\,'({ {x}_{0}})<0$时，$f({ {x}_{0}})$为极大值；当$f'\,'({ {x}_{0}})>0$时，$f({ {x}_{0}})$为极小值。注：如果$f'\,'({ {x}_{0}})<0$，此方法失效。

渐近线的求法

(1) 水平渐近线若$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，或$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，则

$y=b$称为函数$y=f(x)$的水平渐近线。

(2) 铅直渐近线若$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$，或$\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty$，则

$x={ {x}_{0}}$称为$y=f(x)$的铅直渐近线。

(3) 斜渐近线若$a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]$，则 $y=ax+b$称为$y=f(x)$的斜渐近线。

函数凹凸性的判断

Th1: ( 凹凸性的判别定理）若在 I 上$f''(x)<0$（或$f''(x)>0$），则$f(x)$在 I 上是凸的（或凹的）。

Th2: ( 拐点的判别定理 1) 若在${ {x}_{0}}$处$f''(x)=0$，（或$f''(x)$不存在），当$x$变动经过${ {x}_{0}}$时，$f''(x)$变号，则$({ {x}_{0}},f({ {x}_{0}}))$为拐点。

Th3: ( 拐点的判别定理 2) 设$f(x)$在${ {x}_{0}}$点的某邻域内有三阶导数，且$f''(x)=0$，$f'''(x)\ne 0$，则$({ {x}_{0}},f({ {x}_{0}}))$为拐点。

弧微分

\[dS=\sqrt{1+y{ {'}^{2}}}dx\]

曲率

曲线$y=f(x)$在点$(x,y)$处的曲率$k=\frac{\left\| y'' \right\|}{ { {(1+y{ {'}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}$。

对于参数方程 $\left\{ \begin{align} & x=\varphi (t) \\ & y=\psi (t) \\ \end{align} \right.,$ $k=\frac{\left\| \varphi '(t)\psi ''(t)-\varphi ''(t)\psi '(t) \right\|}{ { {[\varphi { {'}^{2}}(t)+\psi { {'}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}$。

曲率半径

曲线在点$M$处的曲率$k(k\ne 0)$与曲线在点$M$处的曲率半径$\rho$有如下关系：$\rho =\frac{1}{k}$。

线性代数

行列式

1. 行列式按行（列）展开定理

(1) 设$A = ( a_{ {ij}} )_{n \times n}$，则： $a_{i1}A_{j1} +a_{i2}A_{j2} + \cdots + a_{ {in}}A_{ {jn}} = \begin{cases}\|A\|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$

或$a_{1i}A_{1j} + a_{2i}A_{2j} + \cdots + a_{ {ni}}A_{ {nj}} = \begin{cases}\|A\|,i=j\\ 0,i \neq j\end{cases}$ 即 $AA^{*} = A^{*}A = \left\| A \right\|E,$ 其中： $A^{*} = \begin{pmatrix} A_{11} & A_{12} & \ldots & A_{1n} \\ A_{21} & A_{22} & \ldots & A_{2n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ A_{n1} & A_{n2} & \ldots & A_{ {nn}} \\ \end{pmatrix} = (A_{ {ji}}) = {(A_{ {ij}})}^{T}$

\[D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n - 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})\]

(2) 设$A,B$为$n$阶方阵，则$\left\| {AB} \right\| = \left\| A \right\|\left\| B \right\| = \left\| B \right\|\left\| A \right\| = \left\| {BA} \right\|$，但$\left\| A \pm B \right\| = \left\| A \right\| \pm \left\| B \right\|$不一定成立。

(3) $\left\| {kA} \right\| = k^{n}\left\| A \right\|$,$A$为$n$阶方阵。

(4) 设$A$为$n$阶方阵，$\|A^{T}\| = \|A\|;\|A^{- 1}\| = \|A\|^{- 1}$（若$A$可逆）， $\|A^{*}\| = \|A\|^{n - 1}$

\[n \geq 2\]

(5) $\left\| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right\| = \left\| \begin{matrix} & {A\quad C} \\ & {O\quad B} \\ \end{matrix} \right\| = \left\| \begin{matrix} & {A\quad O} \\ & {C\quad B} \\ \end{matrix} \right\| =\| A\|\|B\|$ ，$A,B$为方阵，但$\left\| \begin{matrix} {O} & A_{m \times m} \\ B_{n \times n} & { O} \\ \end{matrix} \right\| = ({- 1)}^{ {mn}}\|A\|\|B\|$ 。

(6) 范德蒙行列式$D_{n} = \begin{vmatrix} 1 & 1 & \ldots & 1 \\ x_{1} & x_{2} & \ldots & x_{n} \\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots \\ x_{1}^{n - 1} & x_{2}^{n 1} & \ldots & x_{n}^{n - 1} \\ \end{vmatrix} = \prod_{1 \leq j < i \leq n}^{}\,(x_{i} - x_{j})$

设$A$是$n$阶方阵，$\lambda_{i}(i = 1,2\cdots,n)$是$A$的$n$个特征值，则 $\|A\| = \prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}$

矩阵

矩阵：$m \times n$个数$a_{ {ij}}$排成$m$行$n$列的表格 $\begin{bmatrix} a_{11}\quad a_{12}\quad\cdots\quad a_{1n} \\ a_{21}\quad a_{22}\quad\cdots\quad a_{2n} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{m1}\quad a_{m2}\quad\cdots\quad a_{ {mn}} \\ \end{bmatrix}$ 称为矩阵，简记为$A$，或者$\left( a_{ {ij}} \right)_{m \times n}$ 。若$m = n$，则称$A$是$n$阶矩阵或$n$阶方阵。

矩阵的线性运算

1. 矩阵的加法

设$A = (a_{ {ij}}),B = (b_{ {ij}})$是两个$m \times n$矩阵，则$m \times n$ 矩阵$C = c_{ {ij}}) = a_{ {ij}} + b_{ {ij}}$称为矩阵$A$与$B$的和，记为$A + B = C$ 。

2. 矩阵的数乘

设$A = (a_{ {ij}})$是$m \times n$矩阵，$k$是一个常数，则$m \times n$矩阵$(ka_{ {ij}})$称为数$k$与矩阵$A$的数乘，记为${kA}$。

3. 矩阵的乘法

设$A = (a_{ {ij}})$是$m \times n$矩阵，$B = (b_{ {ij}})$是$n \times s$矩阵，那么$m \times s$矩阵$C = (c_{ {ij}})$，其中$c_{ {ij}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ {in}}b_{ {nj}} = \sum_{k =1}^{n}{a_{ {ik}}b_{ {kj}}}$称为${AB}$的乘积，记为$C = AB$ 。

4. $\mathbf{A}^{\mathbf{T}}$ 、 $\mathbf{A}^{\mathbf{-1}}$ 、 $\mathbf{A}^{\mathbf{*}}$ 三者之间的关系

(1) ${(A^{T})}^{T} = A,{(AB)}^{T} = B^{T}A^{T},{(kA)}^{T} = kA^{T},{(A \pm B)}^{T} = A^{T} \pm B^{T}$

(2) $\left( A^{- 1} \right)^{- 1} = A,\left( {AB} \right)^{- 1} = B^{- 1}A^{- 1},\left( {kA} \right)^{- 1} = \frac{1}{k}A^{- 1},$

但 ${(A \pm B)}^{- 1} = A^{- 1} \pm B^{- 1}$不一定成立。

(3) $\left( A^{*} \right)^{*} = \|A\|^{n - 2}\ A\ \ (n \geq 3)$，$\left({AB} \right)^{*} = B^{*}A^{*},$ $\left( {kA} \right)^{*} = k^{n -1}A^{*}{\ \ }\left( n \geq 2 \right)$

但$\left( A \pm B \right)^{*} = A^{*} \pm B^{*}$不一定成立。

(4) ${(A^{- 1})}^{T} = {(A^{T})}^{- 1},\ \left( A^{- 1} \right)^{*} ={(AA^{*})}^{- 1},{(A^{*})}^{T} = \left( A^{T} \right)^{*}$

5. 有关 $\mathbf{A}^{\mathbf{*}}$ 的结论

(1) $AA^{*} = A^{*}A = \|A\|E$

(2) $\|A^{*}\| = \|A\|^{n - 1}\ (n \geq 2),\ \ \ \ {(kA)}^{*} = k^{n -1}A^{*},{ {\ \ }\left( A^{*} \right)}^{*} = \|A\|^{n - 2}A(n \geq 3)$

(3) 若$A$可逆，则$A^{*} = \|A\|A^{- 1},{(A^{*})}^{*} = \frac{1}{\|A\|}A$

(4) 若$A$为$n$阶方阵，则：

\[r(A^*)=\begin{cases}n,\quad r(A)=n\\ 1,\quad r(A)=n-1\\ 0,\quad r(A)<n-1\end{cases}\]

6. 有关 $\mathbf{A}^{\mathbf{- 1}}$ 的结论

$A$可逆$\Leftrightarrow AB = E; \Leftrightarrow \|A\| \neq 0; \Leftrightarrow r(A) = n;$

$\Leftrightarrow A$可以表示为初等矩阵的乘积；$\Leftrightarrow A;\Leftrightarrow Ax = 0$。

7. 有关矩阵秩的结论

(1) 秩$r(A)$= 行秩 = 列秩；

(2) $r(A_{m \times n}) \leq \min(m,n);$

(3) $A \neq 0 \Rightarrow r(A) \geq 1$；

(4) $r(A \pm B) \leq r(A) + r(B);$

(5) 初等变换不改变矩阵的秩

(6) $r(A) + r(B) - n \leq r(AB) \leq \min(r(A),r(B)),$特别若$AB = O$ 则：$r(A) + r(B) \leq n$

(7) 若$A^{- 1}$存在$\Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若$B^{- 1}$存在 $\Rightarrow r(AB) = r(A);$

若$r(A_{m \times n}) = n \Rightarrow r(AB) = r(B);$ 若$r(A_{m \times s}) = n\Rightarrow r(AB) = r\left( A \right)$。

(8) $r(A_{m \times s}) = n \Leftrightarrow Ax = 0$只有零解

8. 分块求逆公式

$\begin{pmatrix} A & O \\ O & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{-1} & O \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$； $\begin{pmatrix} A & C \\ O & B \\\end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}& - A^{- 1}CB^{- 1} \\ O & B^{- 1} \\ \end{pmatrix}$；

$\begin{pmatrix} A & O \\ C & B \\ \end{pmatrix}^{- 1} = \begin{pmatrix} A^{- 1}&{O} \\ - B^{- 1}CA^{- 1} & B^{- 1} \\\end{pmatrix}$； $\begin{pmatrix} O & A \\ B & O \\ \end{pmatrix}^{- 1} =\begin{pmatrix} O & B^{- 1} \\ A^{- 1} & O \\ \end{pmatrix}$

这里$A$，$B$均为可逆方阵。

向量

1. 有关向量组的线性表示

(1)$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性相关$\Leftrightarrow$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2)$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性无关，$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$，$\beta$线性相关$\Leftrightarrow \beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性表示 $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$ 。

2. 有关向量组的线性相关性

(1) 部分相关，整体相关；整体无关，部分无关 .

(2) ① $n$个$n$维向量 $\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$线性无关$\Leftrightarrow \left\|\left\lbrack \alpha_{1}\alpha_{2}\cdots\alpha_{n} \right\rbrack \right\| \neq0$， $n$个$n$维向量$\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{n}$线性相关 $\Leftrightarrow |\lbrack\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}\rbrack| = 0$ 。

② $n + 1$个$n$维向量线性相关。

③ 若$\alpha_{1},\alpha_{2}\cdots\alpha_{S}$线性无关，则添加分量后仍线性无关；或一组向量线性相关，去掉某些分量后仍线性相关。

3. 有关向量组的线性表示

(1) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性相关$\Leftrightarrow$至少有一个向量可以用其余向量线性表示。

(2) $\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性无关，$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$，$\beta$线性相关$\Leftrightarrow\beta$ 可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$唯一线性表示。

(3) $\beta$可以由$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性表示 $\Leftrightarrow r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}) =r(\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s},\beta)$

4. 向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

设$r(A_{m \times n}) =r$，则$A$的秩$r(A)$与$A$的行列向量组的线性相关性关系为：

(1) 若$r(A_{m \times n}) = r = m$，则$A$的行向量组线性无关。

(2) 若$r(A_{m \times n}) = r < m$，则$A$的行向量组线性相关。

(3) 若$r(A_{m \times n}) = r = n$，则$A$的列向量组线性无关。

(4) 若$r(A_{m \times n}) = r < n$，则$A$的列向量组线性相关。

5. $\mathbf{n}$ 维向量空间的基变换公式及过渡矩阵

若$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$与$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$是向量空间$V$的两组基，则基变换公式为：

\[(\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}) = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})\begin{bmatrix} c_{11}& c_{12}& \cdots & c_{1n} \\ c_{21}& c_{22}&\cdots & c_{2n} \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots \\ c_{n1}& c_{n2} & \cdots & c_{ {nn}} \\\end{bmatrix} = (\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n})C\]

其中$C$是可逆矩阵，称为由基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$到基$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$的过渡矩阵。

6. 坐标变换公式

若向量$\gamma$在基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$与基$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$的坐标分别是 $X = {(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n})}^{T}$，

$Y = \left( y_{1},y_{2},\cdots,y_{n} \right)^{T}$ 即： $\gamma =x_{1}\alpha_{1} + x_{2}\alpha_{2} + \cdots + x_{n}\alpha_{n} = y_{1}\beta_{1} +y_{2}\beta_{2} + \cdots + y_{n}\beta_{n}$，则向量坐标变换公式为$X = CY$ 或$Y = C^{- 1}X$，其中$C$是从基$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$到基$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{n}$的过渡矩阵。

7. 向量的内积

\[(\alpha,\beta) = a_{1}b_{1} + a_{2}b_{2} + \cdots + a_{n}b_{n} = \alpha^{T}\beta = \beta^{T}\alpha\]

8.Schmidt 正交化

若$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$线性无关，则可构造$\beta_{1},\beta_{2},\cdots,\beta_{s}$使其两两正交，且$\beta_{i}$仅是$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{i}$的线性组合$(i= 1,2,\cdots,n)$，再把$\beta_{i}$单位化，记$\gamma_{i} =\frac{\beta_{i}}{\left\| \beta_{i}\right\|}$，则$\gamma_{1},\gamma_{2},\cdots,\gamma_{i}$是规范正交向量组。其中 $\beta_{1} = \alpha_{1}$， $\beta_{2} = \alpha_{2} -\frac{(\alpha_{2},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1}$ ， $\beta_{3} =\alpha_{3} - \frac{(\alpha_{3},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} -\frac{(\alpha_{3},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2}$ ，

…………

\[\beta_{s} = \alpha_{s} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{1})}{(\beta_{1},\beta_{1})}\beta_{1} - \frac{(\alpha_{s},\beta_{2})}{(\beta_{2},\beta_{2})}\beta_{2} - \cdots - \frac{(\alpha_{s},\beta_{s - 1})}{(\beta_{s - 1},\beta_{s - 1})}\beta_{s - 1}\]

9. 正交基及规范正交基

向量空间一组基中的向量如果两两正交，就称为正交基；若正交基中每个向量都是单位向量，就称其为规范正交基。

线性方程组

1．克莱姆法则

线性方程组$\begin{cases} a_{11}x_{1} + a_{12}x_{2} + \cdots +a_{1n}x_{n} = b_{1} \\ a_{21}x_{1} + a_{22}x_{2} + \cdots + a_{2n}x_{n} =b_{2} \\ \quad\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots\cdots \\ a_{n1}x_{1} + a_{n2}x_{2} + \cdots + a_{ {nn}}x_{n} = b_{n} \\ \end{cases}$，如果系数行列式$D = \left\| A \right\| \neq 0$，则方程组有唯一解，$x_{1} = \frac{D_{1}}{D},x_{2} = \frac{D_{2}}{D},\cdots,x_{n} =\frac{D_{n}}{D}$，其中$D_{j}$是把$D$中第$j$列元素换成方程组右端的常数列所得的行列式。

2. $n$阶矩阵$A$可逆$\Leftrightarrow Ax = 0$只有零解。$\Leftrightarrow\forall b,Ax = b$总有唯一解，一般地，$r(A_{m \times n}) = n \Leftrightarrow Ax= 0$只有零解。

3. 非奇次线性方程组有解的充分必要条件，线性方程组解的性质和解的结构

(1) 设$A$为$m \times n$矩阵，若$r(A_{m \times n}) = m$，则对$Ax =b$而言必有$r(A) = r(A \vdots b) = m$，从而$Ax = b$有解。

(2) 设$x_{1},x_{2},\cdots x_{s}$为$Ax = b$的解，则$k_{1}x_{1} + k_{2}x_{2}\cdots + k_{s}x_{s}$当$k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 1$时仍为$Ax =b$的解；但当$k_{1} + k_{2} + \cdots + k_{s} = 0$时，则为$Ax =0$的解。特别$\frac{x_{1} + x_{2}}{2}$为$Ax = b$的解；$2x_{3} - (x_{1} +x_{2})$为$Ax = 0$的解。

(3) 非齐次线性方程组${Ax} = b$无解$\Leftrightarrow r(A) + 1 =r(\overline{A}) \Leftrightarrow b$不能由$A$的列向量$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{n}$线性表示。

4. 奇次线性方程组的基础解系和通解，解空间，非奇次线性方程组的通解

(1) 齐次方程组${Ax} = 0$恒有解（必有零解）。当有非零解时，由于解向量的任意线性组合仍是该齐次方程组的解向量，因此${Ax}= 0$的全体解向量构成一个向量空间，称为该方程组的解空间，解空间的维数是$n - r(A)$，解空间的一组基称为齐次方程组的基础解系。

(2) $\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$是${Ax} = 0$的基础解系，即：

$\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$是${Ax} = 0$的解；
$\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$线性无关；
${Ax} = 0$的任一解都可以由$\eta_{1},\eta_{2},\cdots,\eta_{t}$线性表出 . $k_{1}\eta_{1} + k_{2}\eta_{2} + \cdots + k_{t}\eta_{t}$是${Ax} = 0$的通解，其中$k_{1},k_{2},\cdots,k_{t}$是任意常数。

矩阵的特征值和特征向量

1. 矩阵的特征值和特征向量的概念及性质

(1) 设$\lambda$是$A$的一个特征值，则 ${kA},{aA} + {bE},A^{2},A^{m},f(A),A^{T},A^{- 1},A^{*}$有一个特征值分别为 ${kλ},{aλ} + b,\lambda^{2},\lambda^{m},f(\lambda),\lambda,\lambda^{- 1},\frac{\|A\|}{\lambda},$且对应特征向量相同（$A^{T}$ 例外）。

(2) 若$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}$为$A$的$n$个特征值，则$\sum_{i= 1}^{n}\lambda_{i} = \sum_{i = 1}^{n}a_{ {ii}},\prod_{i = 1}^{n}\lambda_{i}= \|A\|$ , 从而$\|A\| \neq 0 \Leftrightarrow A$没有特征值。

(3) 设$\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{s}$为$A$的$s$个特征值，对应特征向量为$\alpha_{1},\alpha_{2},\cdots,\alpha_{s}$，

若 : $\alpha = k_{1}\alpha_{1} + k_{2}\alpha_{2} + \cdots + k_{s}\alpha_{s}$ ,

则 : $A^{n}\alpha = k_{1}A^{n}\alpha_{1} + k_{2}A^{n}\alpha_{2} + \cdots +k_{s}A^{n}\alpha_{s} = k_{1}\lambda_{1}^{n}\alpha_{1} +k_{2}\lambda_{2}^{n}\alpha_{2} + \cdots k_{s}\lambda_{s}^{n}\alpha_{s}$ 。

2. 相似变换、相似矩阵的概念及性质

(1) 若$A \sim B$，则

\[A^{T} \sim B^{T},A^{- 1} \sim B^{- 1},,A^{*} \sim B^{*}\]
\[\|A\| = \|B\|,\sum_{i = 1}^{n}A_{ {ii}} = \sum_{i =1}^{n}b_{ {ii}},r(A) = r(B)\]
$\|\lambda E - A\| = \|\lambda E - B\|$，对$\forall\lambda$成立

3. 矩阵可相似对角化的充分必要条件

(1) 设$A$为$n$阶方阵，则$A$可对角化$\Leftrightarrow$对每个$k_{i}$重根特征值$\lambda_{i}$，有$n-r(\lambda_{i}E - A) = k_{i}$

(2) 设$A$可对角化，则由$P^{- 1}{AP} = \Lambda,$有$A = {PΛ}P^{-1}$，从而$A^{n} = P\Lambda^{n}P^{- 1}$

(3) 重要结论

若$A \sim B,C \sim D$，则$\begin{bmatrix} A & O \\ O & C \\\end{bmatrix} \sim \begin{bmatrix} B & O \\ O & D \\\end{bmatrix}$.
若$A \sim B$，则$f(A) \sim f(B),\left\| f(A) \right\| \sim \left\| f(B)\right\|$，其中$f(A)$为关于$n$阶方阵$A$的多项式。
若$A$为可对角化矩阵，则其非零特征值的个数（重根重复计算）＝秩（$A$）

4. 实对称矩阵的特征值、特征向量及相似对角阵

(1) 相似矩阵：设$A,B$为两个$n$阶方阵，如果存在一个可逆矩阵$P$，使得$B =P^{- 1}{AP}$成立，则称矩阵$A$与$B$相似，记为$A \sim B$。

(2) 相似矩阵的性质：如果$A \sim B$则有：

\[A^{T} \sim B^{T}\]
$A^{- 1} \sim B^{- 1}$ （若$A$，$B$均可逆）
$A^{k} \sim B^{k}$ （$k$为正整数）
$\left\| {λE} - A \right\| = \left\| {λE} - B \right\|$，从而$A,B$ 有相同的特征值
$\left\| A \right\| = \left\| B \right\|$，从而$A,B$同时可逆或者不可逆
秩$\left( A \right) =$秩$\left( B \right),\left\| {λE} - A \right\| =\left\| {λE} - B \right\|$，$A,B$不一定相似

二次型

1. $\mathbf{n}$ 个变量 $\mathbf{x}_{\mathbf{1}}\mathbf{,}\mathbf{x}_{\mathbf{2}}\mathbf{,\cdots,}\mathbf{x}_{\mathbf{n}}$ 的二次齐次函数

$f(x_{1},x_{2},\cdots,x_{n}) = \sum_{i = 1}^{n}{\sum_{j =1}^{n}{a_{ {ij}}x_{i}y_{j}}}$，其中$a_{ {ij}} = a_{ {ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$，称为$n$元二次型，简称二次型。若令$x = \ \begin{bmatrix}x_{1} \\ x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \\ \end{bmatrix},A = \begin{bmatrix} a_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n} \\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n} \\ \cdots &\cdots &\cdots &\cdots \\ a_{n1}& a_{n2} & \cdots & a_{ {nn}} \\\end{bmatrix}$，这二次型$f$可改写成矩阵向量形式$f =x^{T}{Ax}$。其中$A$称为二次型矩阵，因为$a_{ {ij}} =a_{ {ji}}(i,j =1,2,\cdots,n)$，所以二次型矩阵均为对称矩阵，且二次型与对称矩阵一一对应，并把矩阵$A$的秩称为二次型的秩。

2. 惯性定理，二次型的标准形和规范形

(1) 惯性定理

对于任一二次型，不论选取怎样的合同变换使它化为仅含平方项的标准型，其正负惯性指数与所选变换无关，这就是所谓的惯性定理。

(2) 标准形

二次型$f = \left( x_{1},x_{2},\cdots,x_{n} \right) =x^{T}{Ax}$经过合同变换$x = {Cy}$化为$f = x^{T}{Ax} =y^{T}C^{T}{AC}$

$y = \sum_{i = 1}^{r}{d_{i}y_{i}^{2}}$称为 $f(r \leq n)$的标准形。在一般的数域内，二次型的标准形不是唯一的，与所作的合同变换有关，但系数不为零的平方项的个数由$r(A)$唯一确定。

(3) 规范形

任一实二次型$f$都可经过合同变换化为规范形$f = z_{1}^{2} + z_{2}^{2} + \cdots z_{p}^{2} - z_{p + 1}^{2} - \cdots -z_{r}^{2}$，其中$r$为$A$的秩，$p$为正惯性指数，$r -p$为负惯性指数，且规范型唯一。

3. 用正交变换和配方法化二次型为标准形，二次型及其矩阵的正定性

设$A$正定$\Rightarrow {kA}(k > 0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$正定； $\|A\| >0$，$A$可逆；$a_{ {ii}} > 0$，且$|A_{ {ii}}| > 0$

$A$，$B$正定$\Rightarrow A +B$正定，但${AB}$，${BA}$不一定正定

$A$正定$\Leftrightarrow f(x) = x^{T}{Ax} > 0,\forall x \neq 0$

$\Leftrightarrow A$的各阶顺序主子式全大于零

$\Leftrightarrow A$的所有特征值大于零

$\Leftrightarrow A$的正惯性指数为$n$

$\Leftrightarrow$存在可逆阵$P$使$A = P^{T}P$

$\Leftrightarrow$存在正交矩阵$Q$，使$Q^{T}{AQ} = Q^{- 1}{AQ} =\begin{pmatrix} \lambda_{1} & & \\ \begin{matrix} & \\ & \\ \end{matrix} &\ddots & \\ & & \lambda_{n} \\ \end{pmatrix},$

其中$\lambda_{i} > 0,i = 1,2,\cdots,n.$正定$\Rightarrow {kA}(k >0),A^{T},A^{- 1},A^{*}$正定； $\|A\| > 0,A$可逆；$a_{ {ii}} >0$，且$\|A_{ {ii}}\| > 0$ 。

概率论和数理统计

随机事件和概率

1. 事件的关系与运算

(1) 子事件：$A \subset B$，若$A$发生，则$B$发生。

(2) 相等事件：$A = B$，即$A \subset B$，且$B \subset A$ 。

(3) 和事件：$A\bigcup B$（或$A + B$），$A$与$B$中至少有一个发生。

(4) 差事件：$A - B$，$A$发生但$B$不发生。

(5) 积事件：$A\bigcap B$（或${AB}$），$A$与$B$同时发生。

(6) 互斥事件（互不相容）：$A\bigcap B$=$\varnothing$。

(7) 互逆事件（对立事件）： $A\bigcap B=\varnothing ,A\bigcup B=\Omega ,A=\bar{B},B=\bar{A}$

2. 运算律 (1) 交换律：$A\bigcup B=B\bigcup A,A\bigcap B=B\bigcap A$ (2) 结合律：$(A\bigcup B)\bigcup C=A\bigcup (B\bigcup C)$ (3) 分配律：$(A\bigcap B)\bigcap C=A\bigcap (B\bigcap C)$

3. 德$\centerdot$摩根律

$\overline{A\bigcup B}=\bar{A}\bigcap \bar{B}$ $\overline{A\bigcap B}=\bar{A}\bigcup \bar{B}$

4. 完全事件组

${ {A}_{1}}{ {A}_{2}}\cdots { {A}_{n}}$两两互斥，且和事件为必然事件，即${ {A}_{i}}\bigcap { {A}_{j}}=\varnothing, i\ne j ,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop \bigcup }}\,=\Omega$

5. 概率的基本公式 (1) 条件概率 : $P(B\|A)=\frac{P(AB)}{P(A)}$, 表示$A$发生的条件下，$B$发生的概率。

(2) 全概率公式： $P(A)=\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A\|{ {B}_{i}})P({ {B}_{i}}),{ {B}_{i}}{ {B}_{j}}}=\varnothing ,i\ne j,\underset{i=1}{\overset{n}{\mathop{\bigcup }}}\,{ {B}_{i}}=\Omega$

(3) Bayes 公式：

$P({ {B}_{j}}\|A)=\frac{P(A\|{ {B}_{j}})P({ {B}_{j}})}{\sum\limits_{i=1}^{n}{P(A\|{ {B}_{i}})P({ {B}_{i}})}},j=1,2,\cdots ,n$ 注：上述公式中事件${ {B}_{i}}$的个数可为可列个。

(4) 乘法公式： $P({ {A}_{1}}{ {A}_{2}})=P({ {A}_{1}})P({ {A}_{2}}|{ {A}_{1}})=P({ {A}_{2}})P({ {A}_{1}}|{ {A}_{2}})$ $P({ {A}_{1}}{ {A}_{2}}\cdots { {A}_{n}})=P({ {A}_{1}})P({ {A}_{2}}|{ {A}_{1}})P({ {A}_{3}}|{ {A}_{1}}{ {A}_{2}})\cdots P({ {A}_{n}}|{ {A}_{1}}{ {A}_{2}}\cdots { {A}_{n-1}})$

6. 事件的独立性

(1)$A$与$B$相互独立

\[\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)\]

(2)$A$，$B$，$C$两两独立 $\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$;$P(BC)=P(B)P(C)$ ;$P(AC)=P(A)P(C)$;

(3)$A$，$B$，$C$相互独立 $\Leftrightarrow P(AB)=P(A)P(B)$; $P(BC)=P(B)P(C)$ ; $P(AC)=P(A)P(C)$ ; $P(ABC)=P(A)P(B)P(C)$

7. 独立重复试验

将某试验独立重复$n$次，若每次实验中事件 A 发生的概率为$p$，则$n$次试验中$A$发生$k$次的概率为： $P(X=k)=C_{n}^{k}{ {p}^{k}}{ {(1-p)}^{n-k}}$

8. 重要公式与结论 $(1)P(\bar{A})=1-P(A)$

$(2)P(A\bigcup B)=P(A)+P(B)-P(AB)$ $P(A\bigcup B\bigcup C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)-P(AC)+P(ABC)$

\[(3)P(A-B)=P(A)-P(AB)\]

$(4)P(A\bar{B})=P(A)-P(AB),P(A)=P(AB)+P(A\bar{B}),$ $P(A\bigcup B)=P(A)+P(\bar{A}B)=P(AB)+P(A\bar{B})+P(\bar{A}B)$

(5) 条件概率$P(\centerdot \|B)$满足概率的所有性质，例如：. $P({ {\bar{A}}_{1}}\|B)=1-P({ {A}_{1}}\|B)$ $P({ {A}_{1}}\bigcup { {A}_{2}}\|B)=P({ {A}_{1}}\|B)+P({ {A}_{2}}\|B)-P({ {A}_{1}}{ {A}_{2}}\|B)$ $P({ {A}_{1}}{ {A}_{2}}\|B)=P({ {A}_{1}}\|B)P({ {A}_{2}}\|{ {A}_{1}}B)$

(6) 若${ {A}_{1}},{ {A}_{2}},\cdots ,{ {A}_{n}}$相互独立，则$P(\bigcap\limits_{i=1}^{n}{ { {A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{P({ {A}_{i}})},$ $P(\bigcup\limits_{i=1}^{n}{ { {A}_{i}}})=\prod\limits_{i=1}^{n}{(1-P({ {A}_{i}}))}$

(7) 互斥、互逆与独立性之间的关系： $A$与$B$互逆$\Rightarrow$ $A$与$B$互斥，但反之不成立，$A$与$B$互斥（或互逆）且均非零概率事件 $\Rightarrow$A$与$B$$不独立 .

(8) 若${ {A}_{1}},{ {A}_{2}},\cdots ,{ {A}_{m}},{ {B}_{1}},{ {B}_{2}},\cdots ,{ {B}_{n}}$相互独立，则$f({ {A}_{1}},{ {A}_{2}},\cdots ,{ {A}_{m}})$与$g({ {B}_{1}},{ {B}_{2}},\cdots ,{ {B}_{n}})$也相互独立，其中$f(\centerdot ),g(\centerdot )$分别表示对相应事件做任意事件运算后所得的事件，另外，概率为 1（或 0）的事件与任何事件相互独立 .

随机变量及其概率分布

1. 随机变量及概率分布

取值带有随机性的变量，严格地说是定义在样本空间上，取值于实数的函数称为随机变量，概率分布通常指分布函数或分布律

2. 分布函数的概念与性质

定义： $F(x) = P(X \leq x), - \infty < x < + \infty$

性质：(1)$0 \leq F(x) \leq 1$

(2) $F(x)$单调不减

(3) 右连续$F(x + 0) = F(x)$

(4) $F( - \infty) = 0,F( + \infty) = 1$

3. 离散型随机变量的概率分布

\[P(X = x_{i}) = p_{i},i = 1,2,\cdots,n,\cdots\quad\quad p_{i} \geq 0,\sum_{i =1}^{\infty}p_{i} = 1\]

4. 连续型随机变量的概率密度

概率密度$f(x)$; 非负可积，且 :

(1)$f(x) \geq 0,$

(2)$\int_{- \infty}^{+\infty}{f(x){dx} = 1}$

(3)$x$为$f(x)$的连续点，则 :

$f(x) = F'(x)$分布函数$F(x) = \int_{- \infty}^{x}{f(t){dt}}$

5. 常见分布

(1) 0-1 分布 :$P(X = k) = p^{k}{(1 - p)}^{1 - k},k = 0,1$

(2) 二项分布 :$B(n,p)$： $P(X = k) = C_{n}^{k}p^{k}{(1 - p)}^{n - k},k =0,1,\cdots,n$

(3) Poisson 分布 :$p(\lambda)$： $P(X = k) = \frac{\lambda^{k}}{k!}e^{-\lambda},\lambda > 0,k = 0,1,2\cdots$

(4) 均匀分布$U(a,b)$：$f(x) = \{ \begin{matrix} & \frac{1}{b - a},a < x< b \\ & 0, \\ \end{matrix}$

(5) 正态分布 :$N(\mu,\sigma^{2}):$ $\varphi(x) =\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{- \frac{ {(x - \mu)}^{2}}{2\sigma^{2}}},\sigma > 0,\infty < x < + \infty$

(6) 指数分布 :$E(\lambda):f(x) =\{ \begin{matrix} & \lambda e^{-{λx}},x > 0,\lambda > 0 \\ & 0, \\ \end{matrix}$

(7) 几何分布 :$G(p):P(X = k) = {(1 - p)}^{k - 1}p,0 < p < 1,k = 1,2,\cdots.$

(8) 超几何分布 : $H(N,M,n):P(X = k) = \frac{C_{M}^{k}C_{N - M}^{n -k}}{C_{N}^{n}},k =0,1,\cdots,min(n,M)$

6. 随机变量函数的概率分布

(1) 离散型：$P(X = x_{1}) = p_{i},Y = g(X)$

则 : $P(Y = y_{j}) = \sum_{g(x_{i}) = y_{i}}^{}{P(X = x_{i})}$

(2) 连续型：$X\tilde{\ }f_{X}(x),Y = g(x)$

则 :$F_{y}(y) = P(Y \leq y) = P(g(X) \leq y) = \int_{g(x) \leq y}^{}{f_{x}(x)dx}$， $f_{Y}(y) = F'_{Y}(y)$

7. 重要公式与结论

(1) $X\sim N(0,1) \Rightarrow \varphi(0) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}},\Phi(0) =\frac{1}{2},$ $\Phi( - a) = P(X \leq - a) = 1 - \Phi(a)$

(2) $X\sim N\left( \mu,\sigma^{2} \right) \Rightarrow \frac{X -\mu}{\sigma}\sim N\left( 0,1 \right),P(X \leq a) = \Phi(\frac{a -\mu}{\sigma})$

(3) $X\sim E(\lambda) \Rightarrow P(X > s + t\|X > s) = P(X > t)$

(4) $X\sim G(p) \Rightarrow P(X = m + k\|X > m) = P(X = k)$

(5) 离散型随机变量的分布函数为阶梯间断函数；连续型随机变量的分布函数为连续函数，但不一定为处处可导函数。

(6) 存在既非离散也非连续型随机变量。

多维随机变量及其分布

1. 二维随机变量及其联合分布

由两个随机变量构成的随机向量$(X,Y)$，联合分布为$F(x,y) = P(X \leq x,Y \leq y)$

2. 二维离散型随机变量的分布

(1) 联合概率分布律 $P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{ {ij}};i,j =1,2,\cdots$

(2) 边缘分布律 $p_{i \cdot} = \sum_{j = 1}^{\infty}p_{ {ij}},i =1,2,\cdots$ $p_{\cdot j} = \sum_{i}^{\infty}p_{ {ij}},j = 1,2,\cdots$

(3) 条件分布律 $P\{ X = x_{i}\|Y = y_{j}\} = \frac{p_{ {ij}}}{p_{\cdot j}}$ $P\{ Y = y_{j}\|X = x_{i}\} = \frac{p_{ {ij}}}{p_{i \cdot}}$

3. 二维连续性随机变量的密度

(1) 联合概率密度$f(x,y):$

\[f(x,y) \geq 0\]
\[\int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dxdy}} = 1\]

(2) 分布函数：$F(x,y) = \int_{- \infty}^{x}{\int_{- \infty}^{y}{f(u,v)dudv}}$

(3) 边缘概率密度： $f_{X}\left( x \right) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f\left( x,y \right){dy}}$ $f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}$

(4) 条件概率密度：$f_{X\|Y}\left( x \middle\| y \right) = \frac{f\left( x,y \right)}{f_{Y}\left( y \right)}$ $f_{Y\|X}(y\|x) = \frac{f(x,y)}{f_{X}(x)}$

4. 常见二维随机变量的联合分布

(1) 二维均匀分布：$(x,y) \sim U(D)$ ,$f(x,y) = \begin{cases} \frac{1}{S(D)},(x,y) \in D \\ 0,其他 \end{cases}$

(2) 二维正态分布：$(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$,$(X,Y)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$

\[f(x,y) = \frac{1}{2\pi\sigma_{1}\sigma_{2}\sqrt{1 - \rho^{2}}}.\exp\left\{ \frac{- 1}{2(1 - \rho^{2})}\lbrack\frac{ {(x - \mu_{1})}^{2}}{\sigma_{1}^{2}} - 2\rho\frac{(x - \mu_{1})(y - \mu_{2})}{\sigma_{1}\sigma_{2}} + \frac{ {(y - \mu_{2})}^{2}}{\sigma_{2}^{2}}\rbrack \right\}\]

5. 随机变量的独立性和相关性

$X$和$Y$的相互独立 :$\Leftrightarrow F\left( x,y \right) = F_{X}\left( x \right)F_{Y}\left( y \right)$:

$\Leftrightarrow p_{ {ij}} = p_{i \cdot} \cdot p_{\cdot j}$（离散型） $\Leftrightarrow f\left( x,y \right) = f_{X}\left( x \right)f_{Y}\left( y \right)$（连续型）

$X$和$Y$的相关性：

相关系数$\rho_{ {XY}} = 0$时，称$X$和$Y$不相关，否则称$X$和$Y$相关

6. 两个随机变量简单函数的概率分布

离散型： $P\left( X = x_{i},Y = y_{i} \right) = p_{ {ij}},Z = g\left( X,Y \right)$ 则：

\[P(Z = z_{k}) = P\left\{ g\left( X,Y \right) = z_{k} \right\} = \sum_{g\left( x_{i},y_{i} \right) = z_{k}}^{}{P\left( X = x_{i},Y = y_{j} \right)}\]

连续型： $\left( X,Y \right) \sim f\left( x,y \right),Z = g\left( X,Y \right)$ 则：

$F_{z}\left( z \right) = P\left\{ g\left( X,Y \right) \leq z \right\} = \iint_{g(x,y) \leq z}^{}{f(x,y)dxdy}$，$f_{z}(z) = F'_{z}(z)$

7. 重要公式与结论

(1) 边缘密度公式： $f_{X}(x) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dy,}$ $f_{Y}(y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{f(x,y)dx}$

(2) $P\left\{ \left( X,Y \right) \in D \right\} = \iint_{D}^{}{f\left( x,y \right){dxdy}}$

(3) 若$(X,Y)$服从二维正态分布$N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},\rho)$ 则有：

\[X\sim N\left( \mu_{1},\sigma_{1}^{2} \right),Y\sim N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2}).\]
$X$与$Y$相互独立$\Leftrightarrow \rho = 0$，即$X$与$Y$不相关。
\[C_{1}X + C_{2}Y\sim N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} + C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} + 2C_{1}C_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}\rho)\]
${\ X}$关于$Y=y$的条件分布为： $N(\mu_{1} + \rho\frac{\sigma_{1}}{\sigma_{2}}(y - \mu_{2}),\sigma_{1}^{2}(1 - \rho^{2}))$
$Y$关于$X = x$的条件分布为： $N(\mu_{2} + \rho\frac{\sigma_{2}}{\sigma_{1}}(x - \mu_{1}),\sigma_{2}^{2}(1 - \rho^{2}))$

(4) 若$X$与$Y$独立，且分别服从$N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2}),N(\mu_{1},\sigma_{2}^{2}),$ 则：$\left( X,Y \right)\sim N(\mu_{1},\mu_{2},\sigma_{1}^{2},\sigma_{2}^{2},0),$

\[C_{1}X + C_{2}Y\tilde{\ }N(C_{1}\mu_{1} + C_{2}\mu_{2},C_{1}^{2}\sigma_{1}^{2} C_{2}^{2}\sigma_{2}^{2}).\]

(5) 若$X$与$Y$相互独立，$f\left( x \right)$和$g\left( x \right)$为连续函数，则$f\left( X \right)$和$g(Y)$也相互独立。

随机变量的数字特征

1. 数学期望

离散型：$P\left\{ X = x_{i} \right\} = p_{i},E(X) = \sum_{i}^{}{x_{i}p_{i}}$；

连续型： $X\sim f(x),E(X) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{xf(x)dx}$

性质：

(1) $E(C) = C,E\lbrack E(X)\rbrack = E(X)$

(2) $E(C_{1}X + C_{2}Y) = C_{1}E(X) + C_{2}E(Y)$

(3) 若$X$和$Y$独立，则$E(XY) = E(X)E(Y)$

(4)$\left\lbrack E(XY) \right\rbrack^{2} \leq E(X^{2})E(Y^{2})$

2. 方差 ：$D(X) = E\left\lbrack X - E(X) \right\rbrack^{2} = E(X^{2}) - \left\lbrack E(X) \right\rbrack^{2}$

3. 标准差 ：$\sqrt{D(X)}$，

4. 离散型： $D(X) = \sum_{i}^{}{\left\lbrack x_{i} - E(X) \right\rbrack^{2}p_{i}}$

5. 连续型： $D(X) = {\int_{- \infty}^{+ \infty}\left\lbrack x - E(X) \right\rbrack}^{2}f(x)dx$

性质：

(1)$\ D(C) = 0,D\lbrack E(X)\rbrack = 0,D\lbrack D(X)\rbrack = 0$

(2) $X$与$Y$相互独立，则$D(X \pm Y) = D(X) + D(Y)$

(3)$\ D\left( C_{1}X + C_{2} \right) = C_{1}^{2}D\left( X \right)$

(4) 一般有 $D(X \pm Y) = D(X) + D(Y) \pm 2Cov(X,Y) = D(X) + D(Y) \pm 2\rho\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}$

(5)$\ D\left( X \right) < E\left( X - C \right)^{2},C \neq E\left( X \right)$

(6)$\ D(X) = 0 \Leftrightarrow P\left\{ X = C \right\} = 1$

6. 随机变量函数的数学期望

(1) 对于函数$Y = g(x)$

$X$为离散型：$P\{ X = x_{i}\} = p_{i},E(Y) = \sum_{i}^{}{g(x_{i})p_{i}}$；

$X$为连续型：$X\sim f(x),E(Y) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x)f(x)dx}$

(2) $Z = g(X,Y)$;$\left( X,Y \right)\sim P\{ X = x_{i},Y = y_{j}\} = p_{ {ij}}$; $E(Z) = \sum_{i}^{}{\sum_{j}^{}{g(x_{i},y_{j})p_{ {ij}}}}$ $\left( X,Y \right)\sim f(x,y)$;$E(Z) = \int_{- \infty}^{+ \infty}{\int_{- \infty}^{+ \infty}{g(x,y)f(x,y)dxdy}}$

7. 协方差

\[Cov(X,Y) = E\left\lbrack (X - E(X)(Y - E(Y)) \right\rbrack\]

8. 相关系数

$\rho_{ {XY}} = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{D(X)}\sqrt{D(Y)}}$,$k$阶原点矩 $E(X^{k})$; $k$阶中心矩 $E\left\{ {\lbrack X - E(X)\rbrack}^{k} \right\}$

性质：

(1)$\ Cov(X,Y) = Cov(Y,X)$

(2)$\ Cov(aX,bY) = abCov(Y,X)$

(3)$\ Cov(X_{1} + X_{2},Y) = Cov(X_{1},Y) + Cov(X_{2},Y)$

(4)$\ \left\| \rho\left( X,Y \right) \right\| \leq 1$

(5) $\ \rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ ，其中$a > 0$

$\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$ ，其中$a < 0$

9. 重要公式与结论

(1)$\ D(X) = E(X^{2}) - E^{2}(X)$

(2)$\ Cov(X,Y) = E(XY) - E(X)E(Y)$

(3) $\left\| \rho\left( X,Y \right) \right\| \leq 1,$且 $\rho\left( X,Y \right) = 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$，其中$a > 0$

$\rho\left( X,Y \right) = - 1 \Leftrightarrow P\left( Y = aX + b \right) = 1$，其中$a < 0$

(4) 下面 5 个条件互为充要条件：

$\rho(X,Y) = 0$ $\Leftrightarrow Cov(X,Y) = 0$ $\Leftrightarrow E(X,Y) = E(X)E(Y)$ $\Leftrightarrow D(X + Y) = D(X) + D(Y)$ $\Leftrightarrow D(X - Y) = D(X) + D(Y)$

注：$X$与$Y$独立为上述 5 个条件中任何一个成立的充分条件，但非必要条件。

数理统计的基本概念

1. 基本概念

总体：研究对象的全体，它是一个随机变量，用$X$表示。

个体：组成总体的每个基本元素。

简单随机样本：来自总体$X$的$n$个相互独立且与总体同分布的随机变量$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$，称为容量为$n$的简单随机样本，简称样本。

统计量：设$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},$是来自总体$X$的一个样本，$g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})$）是样本的连续函数，且$g()$中不含任何未知参数，则称$g(X_{1},X_{2}\cdots,X_{n})$为统计量。

样本均值：$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}$

样本方差：$S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{2}$

样本矩：样本$k$阶原点矩：$A_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i}^{k},k = 1,2,\cdots$

样本$k$阶中心矩：$B_{k} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}{(X_{i} - \overline{X})}^{k},k = 1,2,\cdots$

2. 分布

$\chi^{2}$分布：$\chi^{2} = X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + \cdots + X_{n}^{2}\sim\chi^{2}(n)$，其中$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n},$相互独立，且同服从$N(0,1)$

$t$分布：$T = \frac{X}{\sqrt{Y/n}}\sim t(n)$ ，其中$X\sim N\left( 0,1 \right),Y\sim\chi^{2}(n),$且$X$，$Y$ 相互独立。

$F$分布：$F = \frac{X/n_{1}}{Y/n_{2}}\sim F(n_{1},n_{2})$，其中$X\sim\chi^{2}\left( n_{1} \right),Y\sim\chi^{2}(n_{2}),$且$X$，$Y$相互独立。

分位数：若$P(X \leq x_{\alpha}) = \alpha,$则称$x_{\alpha}$为$X$的$\alpha$分位数

3. 正态总体的常用样本分布

(1) 设$X_{1},X_{2}\cdots,X_{n}$为来自正态总体$N(\mu,\sigma^{2})$的样本，

$\overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i = 1}^{n}X_{i},S^{2} = \frac{1}{n - 1}\sum_{i = 1}^{n}{ {(X_{i} - \overline{X})}^{2},}$则：

$\overline{X}\sim N\left( \mu,\frac{\sigma^{2}}{n} \right){\ \ }$或者$\frac{\overline{X} - \mu}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}}\sim N(0,1)$
\[\frac{(n - 1)S^{2}}{\sigma^{2}} = \frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{ {(X_{i} - \overline{X})}^{2}\sim\chi^{2}(n - 1)}\]
\[\frac{1}{\sigma^{2}}\sum_{i = 1}^{n}{ {(X_{i} - \mu)}^{2}\sim\chi^{2}(n)}\]

4)${\ \ }\frac{\overline{X} - \mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n - 1)$

4. 重要公式与结论

(1) 对于$\chi^{2}\sim\chi^{2}(n)$，有$E(\chi^{2}(n)) = n,D(\chi^{2}(n)) = 2n;$

(2) 对于$T\sim t(n)$，有$E(T) = 0,D(T) = \frac{n}{n - 2}(n > 2)$；

(3) 对于$F\tilde{\ }F(m,n)$，有 $\frac{1}{F}\sim F(n,m),F_{a/2}(m,n) = \frac{1}{F_{1 - a/2}(n,m)};$

(4) 对于任意总体$X$，有 $E(\overline{X}) = E(X),E(S^{2}) = D(X),D(\overline{X}) = \frac{D(X)}{n}$

参考

[1] 《动手学深度学习》

参考资料快照

机器学习的数学基础系列文章

参考资料快照

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